वर्णमाला के 6 अलग-अलग अक्षर दिए गए हैं। इन दि | vedclass

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Question

(A) कम से कम एक अक्षर दोहराया गया हो और कोई भी दो समान अक्षर एक साथ न हों,ऐसे $4$ अक्षरों वाले शब्दों की संख्या दो स्थितियों पर विचार करके ज्ञात की जा

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$390$

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(A) कम से कम एक अक्षर दोहराया गया हो और कोई भी दो समान अक्षर एक साथ न हों,ऐसे $4$ अक्षरों वाले शब्दों की संख्या दो स्थितियों पर विचार करके ज्ञात की जा सकती है:स्थिति $1$: दो अक्षर समान (एक जोड़ा) और दो अक्षर अलग हों।जोड़ा चुनने के तरीके: $^6C_1 = 6$.अन्य दो अलग अक्षर चुनने के तरीके: $^5C_2 = 10$.$4$ अक्षरों $(A, A, B, C)$ को इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीके कि कोई भी दो समान अक्षर एक साथ न हों:कुल व्यवस्था $\frac{4!}{2!} = 12$.जब $A, A$ एक साथ हों: $(AA), B, C$ को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।मान्य व्यवस्था = $12 - 6 = 6$.स्थिति $1$ के लिए कुल = $6 	imes 10 	imes 6 = 360$.स्थिति $2$: समान अक्षरों के दो जोड़े (जैसे,$A, A, B, B$)।दो जोड़े चुनने के तरीके: $^6C_2 = 15$.$A, A, B, B$ को इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीके कि कोई भी दो समान अक्षर एक साथ न हों:कुल व्यवस्था = $\frac{4!}{2!2!} = 6$.जब $AA$ एक साथ हों: $3! = 6$.जब $BB$ एक साथ हों: $3! = 6$.जब $AA$ और $BB$ दोनों एक साथ हों: $2! = 2$.समावेशन-अपवर्जन (Inclusion-Exclusion) का उपयोग करते हुए: $6 - (6 + 6) + 2 = -2$ (यहाँ केवल $2$ मान्य व्यवस्थाएं हैं: $ABAB, BABA$)।स्थिति $2$ के लिए कुल = $15 	imes 2 = 30$.कुल = $360 + 30 = 390$.

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