$4$ पुस्तकें,जिनमें रसायन विज्ञान,भौतिकी,जीव विज्ञान और गणित की $1-1$ पुस्तक है,को एक शेल्फ पर व्यवस्थित किया जाना है। इसे कितने तरीकों से किया जा सकता है?

$^nC_r + ^{n-1}C_r + ...... + ^rC_r$ =

एक पुरुष $X$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएँ हैं और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Y$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएँ हैं और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $X$ और $Y$ का कोई भी मित्र सामान्य नहीं है। तो कुल कितने तरीकों से $X$ और $Y$ मिलकर एक पार्टी दे सकते हैं जिसमें $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को आमंत्रित किया जाए,ताकि $X$ और $Y$ में से प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों?

बिंदु $A$ से $D$ तक के सबसे छोटे रास्तों की संख्या (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) है:

यदि $2 \times {}^nC_5 = 9 \times {}^{n-2}C_5$ है,तो $n$ का मान क्या होगा?

$5$ चाबियों को एक छल्ले (ring) में कितने तरीकों से पिरोया जा सकता है?