log _{5}left(1+frac{1}{5}right)+log _{5}left( | vedclass

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Question

(C) दी गई अभिव्यक्ति $\log _{5}\left(1+\frac{1}{5}\right)+\log _{5}\left(1+\frac{1}{6}\right)+\log _{5}\left(1+\frac{1}{7}\right)+\cdots+\log _{5} \le

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$3$

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(C) दी गई अभिव्यक्ति $\log _{5}\left(1+\frac{1}{5}\right)+\log _{5}\left(1+\frac{1}{6}\right)+\log _{5}\left(1+\frac{1}{7}\right)+\cdots+\log _{5} \left(1+\frac{1}{624}\right)$ है।लघुगणक के अंदर प्रत्येक पद को सरल करने पर: $\log _{5} \left(\frac{6}{5}\right)+\log _{5} \left(\frac{7}{6}\right)+\log _{5} \left(\frac{8}{7}\right)+\cdots+\log _{5} \left(\frac{625}{624}\right)$।गुणधर्म $\log_{b}(x) + \log_{b}(y) = \log_{b}(xy)$ का उपयोग करते हुए,हम पदों को संयोजित कर सकते हैं:$\log _{5} \left(\frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{8}{7} \cdot \cdots \cdot \frac{625}{624}\right)$।यहाँ पद टेलीस्कोपिंग तरीके से कट जाते हैं:$\log _{5} \left(\frac{625}{5}\right)$।भाग करने पर: $\frac{625}{5} = 125$।अतः,अभिव्यक्ति $\log _{5}(125)$ हो जाती है।चूंकि $125 = 5^3$,इसलिए $\log _{5}(5^3) = 3 \log _{5}(5) = 3(1) = 3$।

$\log _{5}\left(1+\frac{1}{5}\right)+\log _{5}\left(1+\frac{1}{6}\right)+\log _{5}\left(1+\frac{1}{7}\right)+\cdots+\log _{5} \left(1+\frac{1}{624}\right)$

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