$AB$ અને $CD$ બે વર્તુળોના સામાન્ય સ્પર્શકો છે. જો બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા સમાન હોય,તો સાબિત કરો કે $AB = CD$.

(N/A) આપેલ છે: $AB$ અને $CD$ એ $O$ અને $O^{\prime}$ કેન્દ્રવાળા અને સમાન ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા બે વર્તુળોના સામાન્ય સ્પર્શકો છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AB = CD$.
રચના: $OA, OC, O^{\prime}B$ અને $O^{\prime}D$ ને જોડો.
સાબિતી:
$1$. $AB$ એ $A$ આગળ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $OA$ એ $AB$ ને લંબ છે. તેથી,$\angle OAB = 90^{\circ}$.
$2$. તેવી જ રીતે,$CD$ એ $C$ આગળ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $OC$ એ $CD$ ને લંબ છે. તેથી,$\angle OCD = 90^{\circ}$.
$3$. $AB$ અને $CD$ સમાંતર સ્પર્શકો હોવાથી (કારણ કે જો ત્રિજ્યા સમાન હોય તો તેઓ કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબ હોય છે),$AC$ એ વ્યાસ અથવા સ્પર્શકોને લંબ રેખાખંડ છે.
$4$. ચતુષ્કોણ $ABDC$ માં,$\angle A = 90^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}, \angle C = 90^{\circ}$ અને $\angle D = 90^{\circ}$ છે.
$5$. ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,સમાંતર સ્પર્શકો $AB$ અને $CD$ વચ્ચેનું અંતર અચળ છે,તેથી $AC = BD = 2r$ થાય.
$6$. જે ચતુષ્કોણના બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોય અને સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય તેને લંબચોરસ કહેવાય છે.
$7$. તેથી,$ABDC$ એક લંબચોરસ છે.
$8$. આમ,લંબચોરસની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી,$AB = CD$ સાબિત થાય છે.