$BL$ और $CM$ एक समकोण त्रिभुज $ABC$ (जहाँ $\angle A = 90^{\circ}$) की माध्यिकाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि $4(BL^2 + CM^2) = 5BC^2$ है।

(N/A) $BL$ और $CM$ त्रिभुज $\Delta ABC$ की माध्यिकाएँ हैं,जिसमें $\angle A = 90^{\circ}$ है।
$\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$ $...(1)$
$\Delta ABL$ में,चूँकि $L$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AL = AC/2$:
$BL^2 = AB^2 + AL^2 = AB^2 + (AC/2)^2 = AB^2 + AC^2/4$
$4BL^2 = 4AB^2 + AC^2$ $...(2)$
$\Delta CMA$ में,चूँकि $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AM = AB/2$:
$CM^2 = AC^2 + AM^2 = AC^2 + (AB/2)^2 = AC^2 + AB^2/4$
$4CM^2 = 4AC^2 + AB^2$ $...(3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$4(BL^2 + CM^2) = 4AB^2 + AC^2 + 4AC^2 + AB^2$
$4(BL^2 + CM^2) = 5AB^2 + 5AC^2$
$4(BL^2 + CM^2) = 5(AB^2 + AC^2)$
समीकरण $(1)$ का उपयोग करने पर,$AB^2 + AC^2 = BC^2$,अतः:
$4(BL^2 + CM^2) = 5BC^2$.