$\Delta ABC$ અને $\Delta DBC$ એ એક જ પાયા $BC$ પર આવેલા બે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે અને શિરોબિંદુઓ $A$ અને $D$ એ $BC$ ની એક જ બાજુએ આવેલા છે (આકૃતિ જુઓ). જો $AD$ ને લંબાવતા તે $BC$ ને $P$ માં છેદે,તો સાબિત કરો કે:
$(i)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
$(ii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
$(iii)$ $AP$ એ $\angle A$ અને $\angle D$ બંનેનો દ્વિભાજક છે.
$(iv)$ $AP$ એ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે.

(N/A) $(i)$ $\Delta ABD$ અને $\Delta ACD$ માં:
$AB = AC$ [આપેલ છે]
$AD = AD$ [સામાન્ય બાજુ]
$BD = CD$ [આપેલ છે]
$\therefore \Delta ABD \cong \Delta ACD$ [$SSS$ એકરૂપતાની શરત]
$(ii)$ $\Delta ABP$ અને $\Delta ACP$ માં:
$AB = AC$ [આપેલ છે]
$\angle BAP = \angle CAP$ [કારણ કે $\Delta ABD \cong \Delta ACD$,તેથી તેમના અનુરૂપ ભાગો સમાન છે]
$AP = AP$ [સામાન્ય બાજુ]
$\therefore \Delta ABP \cong \Delta ACP$ [$SAS$ એકરૂપતાની શરત]
$(iii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ભાગો એકરૂપ છે.
$\Rightarrow \angle BAP = \angle CAP$,તેથી $AP$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે.
વળી,$\Delta BDP$ અને $\Delta CDP$ માં:
$BD = CD$ [આપેલ છે]
$DP = DP$ [સામાન્ય બાજુ]
$BP = CP$ [કારણ કે $\Delta ABP \cong \Delta ACP$,તેથી $CPCT$ મુજબ $BP = CP$]
$\therefore \Delta BDP \cong \Delta CDP$ [$SSS$ એકરૂપતાની શરત]
$\Rightarrow \angle BDP = \angle CDP$,તેથી $AP$ એ $\angle D$ નો દ્વિભાજક છે.
$(iv)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$ હોવાથી,$\angle APB = \angle APC$ [$CPCT$ મુજબ].
$\angle APB + \angle APC = 180^\circ$ [રેખિક જોડના ખૂણા],
તેથી $\angle APB = \angle APC = 90^\circ$.
વળી $BP = CP$ [$CPCT$ મુજબ].
આમ,$AP$ એ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે.