$D, E$ અને $F$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$.

(N/A) આપેલ છે: $D, E, F$ એ $\Delta ABC$ માં અનુક્રમે બાજુઓ $BC, CA, AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar}(DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$.
સાબિતી:
$1$. $D$ અને $F$ એ અનુક્રમે $BC$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$DF \parallel AC$ અને $DF = \frac{1}{2} AC = AE$ થાય. આમ,$AFDE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$2$. તેવી જ રીતે,$BDEF$ અને $CDFE$ પણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$3$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BDEF$ માં,વિકર્ણ $DF$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે: $\operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$.
$4$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AFDE$ માં,વિકર્ણ $DE$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે: $\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$.
$5$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $CDFE$ માં,વિકર્ણ $DE$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે: $\operatorname{ar}(\Delta CDE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$.
$6$. તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta AFE) + \operatorname{ar}(\Delta BDF) + \operatorname{ar}(\Delta CDE) + \operatorname{ar}(\Delta DEF)$.
$7$. સમાન ક્ષેત્રફળો મૂકતા: $\operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta DEF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) = 4 \operatorname{ar}(\Delta DEF)$.
$8$. આમ,$\operatorname{ar}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.