$AC$ અને $BD$ એ વર્તુળની જીવાઓ છે જે એકબીજાને દુભાગે છે. સાબિત કરો કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O'$ છે. ધારો કે જીવાઓ $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
જીવાઓ એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી $AO = OC$ અને $BO = OD$ છે.
$\Delta AOB$ અને $\Delta COD$ માં:
$AO = OC$ (આપેલ છે),
$BO = OD$ (આપેલ છે),
$\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણો).
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta AOB \cong \Delta COD$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $AB = CD$ અને $\angle OAB = \angle OCD$. આ યુગ્મકોણો હોવાથી,$AB \parallel CD$ થાય.
જે ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોય તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. આમ,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$ABCD$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે (કારણ કે તેના શિરોબિંદુઓ વર્તુળ પર છે),તેથી તેના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle A = \angle C$ અને $\angle B = \angle D$.
$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$2\angle A = 180^{\circ}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$.
જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય તે લંબચોરસ છે. તેથી,$ABCD$ એક લંબચોરસ છે.