$ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसमें $P$,$Q$,$R$ और $S$ भुजाओं $AB$,$BC$,$CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं (आकृति देखें)। $AC$ एक विकर्ण है। दर्शाइए कि: $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
$\therefore PQ = \frac{1}{2} AC$ और $PQ \parallel AC$ .......... $(1)$
$\Delta ACD$ में,$S$ और $R$ भुजाओं $DA$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं।
$\therefore SR = \frac{1}{2} AC$ और $SR \parallel AC$ .......... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है
$PQ = \frac{1}{2} AC = SR$ और $PQ \parallel AC \parallel SR$
$\Rightarrow PQ = SR$ और $PQ \parallel SR$
अर्थात,चतुर्भुज $PQRS$ में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है।
$\therefore PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
$\therefore PQ = \frac{1}{2} AC$ और $PQ \parallel AC$ .......... $(1)$
$\Delta ACD$ में,$S$ और $R$ भुजाओं $DA$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं।
$\therefore SR = \frac{1}{2} AC$ और $SR \parallel AC$ .......... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है
$PQ = \frac{1}{2} AC = SR$ और $PQ \parallel AC \parallel SR$
$\Rightarrow PQ = SR$ और $PQ \parallel SR$
अर्थात,चतुर्भुज $PQRS$ में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है।
$\therefore PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
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