$ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $P, Q, R$ તથા $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે ચતુષ્કોણ $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $P, Q, R, S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD, DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.
રચના: $AC$ અને $BD$ ને જોડો.
સાબિતી:
$1$. $\Delta ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$ ... $(1)$.
$2$. $\Delta ADC$ માં,$S$ અને $R$ એ $AD$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$ ... $(2)$.
$3$. $(1)$ અને $(2)$ પરથી,$PQ \parallel SR$ અને $PQ = SR$. સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$4$. સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને $90^{\circ}$ ના ખૂણે દુભાગે છે. ધારો કે $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે. તેથી,$AC \perp BD$.
$5$. $PQ \parallel AC$ અને $QR \parallel BD$ હોવાથી,$PQ$ અને $QR$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ થશે કારણ કે $AC$ અને $BD$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
$6$. $PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.