$P, Q, R$ और $S$ चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं,जिसमें $AC = BD$ और $AC \perp BD$ है। सिद्ध कीजिए कि $PQRS$ एक वर्ग है।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AC = BD$ और $AC \perp BD$ है। $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक वर्ग है।
उपपत्ति:
$1$. $\triangle ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$.
$2$. इसी प्रकार,$\triangle ADC$ में,$S$ और $R$ क्रमशः $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। अतः,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$.
$3$. चूंकि $PQ = SR$ और $PQ \parallel SR$,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$4$. $\triangle ABD$ में,$P$ और $S$ क्रमशः $AB$ और $AD$ के मध्य-बिंदु हैं। अतः,$PS = \frac{1}{2} BD$.
$5$. चूंकि $AC = BD$ (दिया है),इसलिए $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD = PS$ प्राप्त होता है। अतः,$PQ = PS$.
$6$. चूंकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी आसन्न भुजाएँ बराबर $(PQ = PS)$ हैं,इसलिए यह एक समचतुर्भुज है।
$7$. चूंकि $AC \perp BD$ और $PQ \parallel AC$ तथा $PS \parallel BD$,इसलिए $PQ \perp PS$ होगा। अतः,$\angle SPQ = 90^{\circ}$.
$8$. वह समचतुर्भुज जिसका एक कोण $90^{\circ}$ हो,वर्ग कहलाता है। अतः,$PQRS$ एक वर्ग है।