$P, Q, R$ અને $S$ એ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,જેમાં $AC = BD$ અને $AC \perp BD$ છે. સાબિત કરો કે $PQRS$ એક ચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે: ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AC = BD$ અને $AC \perp BD$ છે. $P, Q, R$ અને $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક ચોરસ છે.
સાબિતી:
$1$. $\triangle ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$.
$2$. તેવી જ રીતે,$\triangle ADC$ માં,$S$ અને $R$ એ અનુક્રમે $AD$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. તેથી,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$.
$3$. $PQ = SR$ અને $PQ \parallel SR$ હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$4$. $\triangle ABD$ માં,$P$ અને $S$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. તેથી,$PS = \frac{1}{2} BD$.
$5$. $AC = BD$ (આપેલ છે) હોવાથી,આપણને મળે છે $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD = PS$. આમ,$PQ = PS$.
$6$. $PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને તેની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન $(PQ = PS)$ હોવાથી,તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$7$. $AC \perp BD$ અને $PQ \parallel AC$ તથા $PS \parallel BD$ હોવાથી,$PQ \perp PS$ થાય. તેથી,$\angle SPQ = 90^{\circ}$.
$8$. જે સમબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય,તે ચોરસ હોય છે. તેથી,$PQRS$ એક ચોરસ છે.