$E$ એ $\triangle ABC$ ની મધ્યગા $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $BE$ ને લંબાવતા તે $AC$ ને $F$ માં મળે છે. સાબિત કરો કે $AF = \frac{1}{3} AC$.

(N/A) આપેલ છે: એક $\triangle ABC$ જેમાં $AD$ મધ્યગા છે,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $BE$ ને લંબાવતા તે $AC$ ને $F$ માં મળે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AF = \frac{1}{3} AC$.
રચના: $DG \parallel BF$ દોરો જે $AC$ ને $G$ માં છેદે છે.
સાબિતી: $\triangle ADG$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $EF \parallel DG$ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$AF = FG$ .....$(1)$.
$\triangle FBC$ માં,$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $DG \parallel BF$ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$FG = GC$ .....$(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$AF = FG = GC$ .....$(3)$.
કારણ કે $AC = AF + FG + GC$,સમીકરણ $(3)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AC = AF + AF + AF = 3AF$.
તેથી,$AF = \frac{1}{3} AC$.
આમ,સાબિત થાય છે.