$ABCD$ एक आयत है जिसमें विकर्ण $BD$,$\angle B$ को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि $ABCD$ एक वर्ग है।

(N/A) दिया है: एक आयत $ABCD$ जिसमें विकर्ण $BD$,$\angle B$ को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है: $ABCD$ एक वर्ग है।
उपपत्ति: $DC \parallel AB$ [क्योंकि आयत की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं]।
$\Rightarrow \angle 4 = \angle 1$ ... $(1)$ [एकांतर अंतःकोण]।
इसी प्रकार,$\angle 3 = \angle 2$ ... $(2)$ [एकांतर अंतःकोण]।
और $\angle 1 = \angle 2$ ... $(3)$ [दिया है,क्योंकि $BD$,$\angle B$ को समद्विभाजित करता है]।
समीकरण $(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है $\angle 3 = \angle 4$।
$\triangle ABD$ और $\triangle CBD$ में,हमारे पास है:
$\angle 1 = \angle 2$ [दिया है]
$BD = BD$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$\angle 3 = \angle 4$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle ABD \cong \triangle CBD$।
इसलिए,$AB = BC$ [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]।
चूँकि $ABCD$ एक आयत है जिसकी आसन्न भुजाएँ बराबर हैं,अतः $ABCD$ एक वर्ग है।
इति सिद्धम्।