$D, E$ અને $F$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે:
$(i)$ $BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$(ii)$ $ar(DEF) = \frac{1}{4} ar(ABC)$
$(iii)$ $ar(BDEF) = \frac{1}{2} ar(ABC)$

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$F$ અને $E$ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$FE \parallel BC$ અને $FE = \frac{1}{2} BC$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = \frac{1}{2} BC$.
તેથી,$FE \parallel BD$ અને $FE = BD$.
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,ચતુષ્કોણ $BDEF$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. (પરિણામ $i$)
તે જ રીતે,ચતુષ્કોણ $AFDE$ અને $FDCE$ પણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BDEF$ માં,$FD$ એ વિકર્ણ છે,તેથી $ar(BDF) = ar(DEF)$. $(1)$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AFDE$ માં,$EF$ એ વિકર્ણ છે,તેથી $ar(AFE) = ar(DEF)$. $(2)$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $FDCE$ માં,$ED$ એ વિકર્ણ છે,તેથી $ar(DCE) = ar(DEF)$. $(3)$
$\Delta ABC$ એ ચાર એકબીજા પર ન આવતા ત્રિકોણોનો બનેલો છે: $\Delta BDF, \Delta AFE, \Delta DCE$ અને $\Delta DEF$.
$ar(ABC) = ar(BDF) + ar(AFE) + ar(DCE) + ar(DEF)$
$(1), (2)$ અને $(3)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$ar(ABC) = ar(DEF) + ar(DEF) + ar(DEF) + ar(DEF) = 4 ar(DEF)$
તેથી,$ar(DEF) = \frac{1}{4} ar(ABC)$. (પરિણામ $ii$)
હવે,$ar(BDEF) = ar(BDF) + ar(DEF) = ar(DEF) + ar(DEF) = 2 ar(DEF)$.
$ar(DEF) = \frac{1}{4} ar(ABC)$ મૂકતા:
$ar(BDEF) = 2 \times \frac{1}{4} ar(ABC) = \frac{1}{2} ar(ABC)$. (પરિણામ $iii$)