$(1)$ $\Delta ABC$ में,$AD$ एक शीर्षलंब है। यदि $BC = 8 \text{ cm}$ और $AD = 5 \text{ cm}$ है,तो $\text{ar}(\Delta ABC) = \dots \text{ cm}^2$ होगा।
$(2)$ त्रिभुज की एक $\dots$ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

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(A) $(1)$ त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\text{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ है।
यहाँ आधार $(BC) = 8 \text{ cm}$ और ऊंचाई $(AD) = 5 \text{ cm}$ दी गई है।
अतः,$\text{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \text{ cm}^2$ होगा।
$(2)$ त्रिभुज की एक माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

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$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$,$DC = 30 \, cm$ और $AB = 50 \, cm$ है। यदि $X$ और $Y$ क्रमशः $AD$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ar}(DCYX) = \frac{7}{9} \operatorname{ar}(XYBA)$।

Difficult
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समांतर चतुर्भुज $PQRS$ में,$PQ = 15 \, cm$ है। शीर्षलंब $SM$ और $SN$ क्रमशः आधार $PQ$ और $QR$ के संगत हैं। यदि $SM = 6 \, cm$ और $SN = 10 \, cm$ है,तो $QR$ और $PQRS$ का परिमाप ज्ञात कीजिए।

सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य बताइए:
$ABC$ और $BDE$ दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। तब $\operatorname{ar}(\triangle BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle ABC).$

$\Delta ABC$ में,$AD$ एक माध्यिका है,$M$ और $N$ क्रमशः $BD$ और $MD$ के मध्य-बिंदु हैं। यदि $\operatorname{ar}(AND) = 20\, cm^2$ है,तो $\operatorname{ar}(ABC) = \dots cm^2$.

त्रिभुज $LMN$ की भुजा $LN$ पर $X$ और $Y$ ऐसे बिंदु हैं कि $LX = XY = YN$ है। $X$ से होकर $LM$ के समांतर एक रेखा खींची गई है जो $MN$ को $Z$ पर मिलती है (आकृति देखें)। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ar}(LZY) = \operatorname{ar}(MZYX)$ है।

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