$ABCD$ એક એવો ચતુષ્કોણ છે કે જેમાં $A$ એ $B, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. સાબિત કરો કે $\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.

(A) $1$. $A$ એ $B, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર હોવાથી,$AB = AC = AD = r$ (જ્યાં $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે).
$2$. $\triangle ABD$ માં,$AB = AD$ હોવાથી,$\angle ABD = \angle ADB = (180^{\circ} - \angle BAD)/2 = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD$.
$3$. $\triangle BCD$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle CBD + \angle CDB + \angle BCD = 180^{\circ}$.
$4$. વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો એ પરિઘ પરના ખૂણા કરતા બમણો હોય છે. અહીં,$\angle BCD = \frac{1}{2} (360^{\circ} - \angle BAD) = 180^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD$.
$5$. આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા: $\angle CBD + \angle CDB + (180^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD) = 180^{\circ}$.
$6$. તેથી,$\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.