$\frac{(\cos x + i\sin x)(\cos y + i\sin y)}{(\cot u + i)(1 + i\tan v)}$ का $A + iB$ रूप है

यदि $-i$ और $\alpha$ समीकरण $iz^2 - 2(i+1)z + (2-i) = 0$ के मूल हैं,$\tan \theta = \frac{-1}{2}$ और $\theta \in 4^{\text{th}}$ चतुर्थांश में है,तो $5^3 \cos 6\theta =$

कथन $(A)$: यदि $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $|z| \geq 3$,तो $|z + \frac{3}{z}|$ का न्यूनतम मान $1$ है।
कारण $(R)$: $|z_1 - z_2| \leq |z_1| + |z_2|$,किन्हीं भी दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ के लिए।
निम्नलिखित में से सही विकल्प है:

निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: किन्हीं दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ के लिए,
$(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)$
कथन $II$: यदि $x, y, z$ तीन भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं और $a, b, c$ तीन धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,जैसे कि $\frac{a}{|y-z|}=\frac{b}{|z-x|}=\frac{c}{|x-y|}$,तो
$\frac{a^2}{y-z}+\frac{b^2}{z-x}+\frac{c^2}{x-y}=1$
उपरोक्त दो कथनों के बीच,

$x$ के वे मान जिनके लिए $\sin x + i \cos 2x$ और $\cos x - i \sin 2x$ एक-दूसरे के संयुग्मी हैं,वे हैं

यदि सम्मिश्र संख्या $z = \frac{3 + 2i \cos \theta}{1 - 3i \cos \theta}$, जहाँ $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$, का वास्तविक भाग शून्य है, तो $\sin^2 3\theta + \cos^2 \theta$ का मान क्या होगा?