પાણીની નીચે થયેલા વિસ્ફોટથી બનેલો ગેસનો પરપોટો $T$ આવર્તકાળ સાથે દોલન કરે છે,જે $P^{a} d^{b} E^{c}$ ના પ્રમાણમાં છે,જ્યાં $P$ એ સ્થિર દબાણ છે,$d$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $E$ એ વિસ્ફોટની ઉર્જા છે. તો $a, b, c$ અનુક્રમે છે:

વિધાન $(A)$: એકમ કદ દીઠ ઉર્જા અને કોણીય વેગમાનને પરિમાણીય રીતે ઉમેરી શકાય છે.
કારણ $(R)$: સમાન પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓને ઉમેરી કે બાદ કરી શકાય છે.

એકમની નવી પદ્ધતિમાં,ઉર્જા $(E)$,ઘનતા $(d)$ અને પાવર $(P)$ ને મૂળભૂત એકમો તરીકે લેવામાં આવે છે,તો સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ નું પારિમાણિક સૂત્ર ....... થશે.

સમાન સંખ્યામાં ઇલેક્ટ્રોન અને ધન આયનોના ગીચ સમૂહને તટસ્થ પ્લાઝ્મા કહેવામાં આવે છે. મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનથી ઘેરાયેલા નિશ્ચિત ધન આયનો ધરાવતા અમુક ઘન પદાર્થોને તટસ્થ પ્લાઝ્મા તરીકે ગણી શકાય. ધારો કે $N$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે, દરેકનું દળ $m$ છે. જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર લગાડવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ ભારે ધન આયનોથી સાપેક્ષ રીતે દૂર સ્થાનાંતરિત થાય છે. જો વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થઈ જાય, તો ઇલેક્ટ્રોન ધન આયનોની આસપાસ કુદરતી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_p$ સાથે દોલન કરવાનું શરૂ કરે છે, જેને પ્લાઝ્મા આવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે. આ દોલનોને જાળવી રાખવા માટે, સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુતક્ષેત્રને લાગુ કરવાની જરૂર છે જેની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ હોય, જ્યાં ઉર્જાનો એક ભાગ શોષાય છે અને એક ભાગ પરાવર્તિત થાય છે. જેમ જેમ $\omega$ એ $\omega_p$ ની નજીક પહોંચે છે, ત્યારે બધા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન એકસાથે અનુનાદમાં આવે છે અને બધી ઉર્જા પરાવર્તિત થાય છે. આ ધાતુઓની ઉચ્ચ પરાવર્તકતાનું કારણ છે.
$1.$ ઇલેક્ટ્રોનિક ચાર્જને $e$ અને પરમિટિવિટીને $\varepsilon_0$ તરીકે લઈને, $\omega_p$ માટે સાચું સૂત્ર નક્કી કરવા માટે પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરો.
$(A) \sqrt{\frac{N e}{m \varepsilon_0}}$ $(B) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e}}$ $(C) \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ $(D) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e^2}}$
$2.$ $N \approx 4 \times 10^{27} \ m^{-3}$ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા ધરાવતી ધાતુ માટે પ્લાઝ્મા પરાવર્તન કઈ તરંગલંબાઇ પર થશે તેનો અંદાજ લગાવો. $\varepsilon_0 \approx 10^{-11}$ અને $m \approx 10^{-30}$ લો, જ્યાં આ જથ્થાઓ યોગ્ય $SI$ એકમોમાં છે.
$(A) 800 \ nm$ $(B) 600 \ nm$ $(C) 300 \ nm$ $(D) 200 \ nm$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.

જો $(\text{Energy} \times \text{speed})$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{a} L^{b} T^{c}]$ હોય,તો $a, b$ અને $c$ શું છે?

જો ${\mu _0}$ અને ${\varepsilon _0}$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી અને પરમિટિવિટી દર્શાવતા હોય,તો ${\mu _0}{\varepsilon _0}$ ના પરિમાણો શું થાય?