$m$ દળ અને $\ell$ લંબાઈનો એક સમાન સળિયો,જે છેડા $A$ પર મિજાગરા (hinge) વડે જોડાયેલ છે,તેને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. સળિયાને મુક્ત કર્યા પછી તરત જ:

Column $I$	Column $II$
$(A)$ $C$ નો કોણીય પ્રવેગ	$(P)$ $\frac{3g}{2}$
$(B)$ $B$ નો કોણીય પ્રવેગ	$(Q)$ $\frac{3g}{2\ell}$
$(C)$ $C$ નો પ્રવેગ	$(R)$ $\frac{3g}{4}$
$(D)$ $B$ નો પ્રવેગ	$(S)$ $\frac{3g}{\ell}$

$m$ અને $4m$ દળ ધરાવતી બે પાતળી વર્તુળાકાર તકતીઓ,જેની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $a$ અને $2a$ છે,તેમને તેમના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થતા $l=\sqrt{24}a$ લંબાઈના દળરહિત સખત સળિયા વડે મજબૂત રીતે જોડવામાં આવી છે. આ રચનાને એક સપાટ સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે અને તેને સરક્યા વિના ગબડાવવામાં આવે છે જેથી સળિયાની ધરીની આસપાસ કોણીય ઝડપ $\omega$ થાય. બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે સમગ્ર રચનાનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ છે (આકૃતિ જુઓ). નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ રચનાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $z$-ધરીની આસપાસ $\omega/5$ ની કોણીય ઝડપ સાથે ફરે છે
$(B)$ બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે રચનાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું કોણીય વેગમાન $81ma^2\omega$ છે
$(C)$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે રચનાનું કોણીય વેગમાન $17ma^2\omega/2$ છે
$(D)$ $\vec{L}$ ના $z$-ઘટકનું મૂલ્ય $55ma^2\omega$ છે

દ્રઢ પદાર્થની સામાન્ય ગતિને $(i)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની કોઈ અક્ષની આસપાસની ગતિ અને $(ii)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તત્કાલીન અક્ષની આસપાસની ગતિના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય. આ અક્ષો સ્થિર હોવી જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક પાતળી સમાન તકતીને તેના પરિઘ પર એક દળરહિત લાકડી સાથે આડી રીતે વેલ્ડિંગ (દ્રઢ રીતે જોડાયેલ) કરેલ છે. જ્યારે તકતી-લાકડી તંત્રને આડા ઘર્ષણરહિત સમતલ પર ઉદગમબિંદુની આસપાસ $\omega$ કોણીય ઝડપ સાથે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ ક્ષણે ગતિને $(i)$ તકતીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની $z$-અક્ષની આસપાસની ભ્રમણ ગતિ અને $(ii)$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તત્કાલીન ઉભી અક્ષની આસપાસની ભ્રમણ ગતિ (જે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના બદલાયેલા અભિગમ પરથી જોઈ શકાય છે) ના સંયોજન તરીકે લઈ શકાય છે. આ કિસ્સામાં બંને ગતિઓની કોણીય ઝડપ $\omega$ સમાન છે. હવે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે સમાન તંત્રો ધ્યાનમાં લો: કિસ્સો $(a)$ તકતીનો ચહેરો ઉભો અને $x-z$ સમતલને સમાંતર છે; કિસ્સો $(b)$ તકતીનો ચહેરો $x-y$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે અને તેનો આડો વ્યાસ $x$-અક્ષને સમાંતર છે. બંને કિસ્સાઓમાં,તકતીને બિંદુ $P$ પર વેલ્ડિંગ કરવામાં આવે છે,અને તંત્રોને $z$-અક્ષની આસપાસ અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે ફેરવવામાં આવે છે.
$1.$ તત્કાલીન અક્ષ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી) ની આસપાસની કોણીય ઝડપ અંગે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ તે બંને કિસ્સાઓ માટે $\sqrt{2} \omega$ છે.
$(B)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે $\omega$ છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ છે.
$(C)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે $\omega$ છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $\sqrt{2} \omega$ છે.
$(D)$ તે બંને કિસ્સાઓ માટે $\omega$ છે.
$2.$ તત્કાલીન અક્ષ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી) વિશે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ તે બંને કિસ્સાઓ $(a)$ અને $(b)$ માટે ઉભી છે.
$(B)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે ઉભી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલમાં રહેલી છે.
$(C)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે આડી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલને લંબ છે.
$(D)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે ઉભી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલને લંબ છે.
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.

દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા એક સમાન પદાર્થની ધાર પર આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $m$ દળનો એક નાનો પદાર્થ જોડાયેલ છે. આ તંત્રને એક સંપૂર્ણ ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે જેથી $m$ દળ પદાર્થના કેન્દ્રની સમાન સમક્ષિતિજ સપાટી પર રહે. એવું માનવામાં આવે છે કે બિંદુ $A$ પર કોઈ સરકણ થતું નથી. જો $I_A$ એ સંપર્ક બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે સંયુક્ત તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા હોય,તો તંત્રને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કર્યા પછી તરત જ બિંદુ $A$ પર લાગતું લંબબળ ........ $N$ છે. ($M = 6 \ kg$,$m = 2 \ kg$,$I_A = 4 \ kg \ m^2$,$R = 1 \ m$,$g = 10 \ m/s^2$)

$r$ ત્રિજ્યા અને $S$ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધરાવતો એક ધાતુનો ગોળો તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ પર $n$ પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડની ઝડપે ફરે છે. તેને અચાનક રોકવામાં આવે છે અને તેની ઊર્જાના $50 \%$ નો ઉપયોગ તેના તાપમાનમાં વધારો કરવા માટે થાય છે. તો, ગોળાના તાપમાનમાં થતો વધારો કેટલો હશે?

$1.4 \, m$ લંબાઈ અને અવગણ્ય દળ ધરાવતા સળિયાના છેડાઓ પર $0.3 \, kg$ અને $0.7 \, kg$ ના દળ રાખેલા છે. સળિયાને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષ પર અચળ કોણીય ઝડપથી ફેરવવામાં આવે છે. સળિયા પરનું તે બિંદુ,જ્યાંથી અક્ષ પસાર થવી જોઈએ જેથી સળિયાને ફેરવવા માટે જરૂરી કાર્ય ન્યૂનતમ હોય,તે છે: