int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} log left(fra | vedclass

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Question

(D) माना कि $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin x}{2+\sin x}\right) d x$.फलन $f(x) = \log \left(\frac{2-\sin x}{2+\sin

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(D) माना कि $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin x}{2+\sin x}\right) d x$.फलन $f(x) = \log \left(\frac{2-\sin x}{2+\sin x}\right)$ पर विचार करें।अब,$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जांचें कि फलन सम है या विषम:$f(-x) = \log \left(\frac{2-\sin(-x)}{2+\sin(-x)}\right) = \log \left(\frac{2+\sin x}{2-\sin x}\right)$.चूंकि $\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$,इसलिए:$f(-x) = -\log \left(\frac{2-\sin x}{2+\sin x}\right) = -f(x)$.चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) d x = 0$ होता है।अतः,$I = 0$।

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin x}{2+\sin x}\right) d x=$

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$x \in \mathbb{R}$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = |\sin x|$ और $g(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ है। यदि $p(x) = g(x) - \frac{2}{\pi} x$ है,तो:

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