int_{-pi}^pi frac{x sin x}{1+cos ^2 x} d x= | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}$.$f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{(-x)(-\sin x)}{1+\cos^2 x} = f(x)$ હોવાથી,વિધેય ય

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{2}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}$.$f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{(-x)(-\sin x)}{1+\cos^2 x} = f(x)$ હોવાથી,વિધેય યુગ્મ (even) છે.ગુણધર્મ $\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:$2I = 2 \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx \Rightarrow I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.ધારો કે $t = \cos x$,તેથી $dt = -\sin x dx$. સીમાઓ $0$ થી $\pi$ બદલાઈને $1$ થી $-1$ થશે.$I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = 2\pi \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}$.$I = 2\pi [	an^{-1} t]_0^1 = 2\pi (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi^2}{2}$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x=$

Similar Questions

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{2}{3}} x}{\sin^{\frac{2}{3}} x + \cos^{\frac{2}{3}} x} dx =$

સંકલન $\int_0^\pi \frac{(x+3) \sin x}{1+3 \cos ^2 x} d x$ ની કિંમત શોધો:

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{1}{1+ e^{\sin x}} dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x + \sqrt{1 - x^2}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $(a, b)$ એ વક્ર $x^2=2y$ અને રેખા $y-2x-6=0$ નું બીજા ચરણમાં છેદબિંદુ છે. તો સંકલન $I=\int_a^b \frac{9x^2}{1+5^x} dx$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module