int_{0}^{1} tan ^{-1}left[frac{2 x-1}{1+x-x^{ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{1} 	an ^{-1}\left[\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}ight] d x$. हम $	an ^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{2x-1}{1+

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$0$

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(A) माना $I = \int_{0}^{1} 	an ^{-1}\left[\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}ight] d x$. हम $	an ^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{2x-1}{1+x-x^2} = \frac{x - (1-x)}{1 + x(1-x)}$. गुणधर्म $	an^{-1} a - 	an^{-1} b = 	an^{-1} \left( \frac{a-b}{1+ab} ight)$ का उपयोग करते हुए: $I = \int_{0}^{1} [	an^{-1} x - 	an^{-1}(1-x)] dx \quad \dots(1)$. गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए: $I = \int_{0}^{1} [	an^{-1}(1-x) - 	an^{-1}(1-(1-x))] dx = \int_{0}^{1} [	an^{-1}(1-x) - 	an^{-1} x] dx \quad \dots(2)$. समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $2I = \int_{0}^{1} [	an^{-1} x - 	an^{-1}(1-x) + 	an^{-1}(1-x) - 	an^{-1} x] dx = \int_{0}^{1} 0 dx = 0$. अतः,$I = 0$.

$\int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left[\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right] d x=$

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$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x=$

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निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{1} x(1-x)^{n} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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