int_{0}^{1} tan ^{-1}left(frac{2x-1}{1+x-x^{2 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{1} 	an ^{-1}\left(\frac{2x-1}{1+x-x^{2}}ight) dx$ है। हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\fra

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(A) माना $I = \int_{0}^{1} 	an ^{-1}\left(\frac{2x-1}{1+x-x^{2}}ight) dx$ है। हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{2x-1}{1+x-x^{2}} = \frac{x - (1-x)}{1 + x(1-x)}$। सर्वसमिका $	an^{-1}(a) - 	an^{-1}(b) = 	an^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}ight)$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{1} (	an^{-1} x - 	an^{-1}(1-x)) dx$ ... $(1)$। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{1} (	an^{-1}(1-x) - 	an^{-1}(1-(1-x))) dx = \int_{0}^{1} (	an^{-1}(1-x) - 	an^{-1} x) dx$ ... $(2)$। समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $2I = \int_{0}^{1} (	an^{-1} x - 	an^{-1}(1-x) + 	an^{-1}(1-x) - 	an^{-1} x) dx = \int_{0}^{1} 0 dx = 0$। अतः,$I = 0$।

$\int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2x-1}{1+x-x^{2}}\right) dx =$

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$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x \tan x \sec^2 x}{\tan^4 x + 1} dx =$

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