$\int_{-1}^1 \frac{x^3+|x|+1}{x^2+2|x|+1} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \, dx}{\sqrt{1+\cos x \sin x}} = $

$\int_0^{2a} f(x) dx - \int_a^{2a} f(x) dx =$

मान लीजिए $g_i: \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}, i=1, 2$,और $f: \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ ऐसे फलन हैं कि $g_1(x)=1, g_2(x)=|4x-\pi|$ और $f(x)=\sin^2 x$,सभी $x \in \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right]$ के लिए।
$S_i = \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} f(x) \cdot g_i(x) dx, i=1, 2$ को परिभाषित करें।
$(1)$ $\frac{16S_1}{\pi}$ का मान है।
$(2)$ $\frac{48S_2}{\pi^2}$ का मान है।

यदि $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) dx$ है,तो $\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x + \cos x) dx =$

मान लीजिए $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$. निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$. $J > \frac{1}{4}$
$II$. $J < \frac{\pi}{8}$
तो,