y(1) = frac{pi}{4} के साथ 3 e^x tan y , dx + | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $3 e^x 	an y \, dx + (1 - e^x) \sec^2 y \, dy = 0$। चरों को अलग करने पर: $\frac{\sec^2 y}{	an y} \, dy = -\frac{3 e^x}{1 -

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$	an y = \left(\frac{1 - e^x}{1 - e}ight)^3$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $3 e^x 	an y \, dx + (1 - e^x) \sec^2 y \, dy = 0$। चरों को अलग करने पर: $\frac{\sec^2 y}{	an y} \, dy = -\frac{3 e^x}{1 - e^x} \, dx$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{\sec^2 y}{	an y} \, dy = \int \frac{3 e^x}{e^x - 1} \, dx$। मान लीजिए $u = 	an y$,तो $du = \sec^2 y \, dy$। बायां पक्ष $\ln|	an y|$ हो जाता है। दाएं पक्ष के लिए,$v = e^x - 1$ लेने पर,$dv = e^x \, dx$। दायां पक्ष $3 \ln|e^x - 1| + C$ हो जाता है। अतः,$\ln|	an y| = 3 \ln|e^x - 1| + C = \ln|e^x - 1|^3 + C$। इसका अर्थ है $	an y = K(e^x - 1)^3$। चूंकि $y(1) = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है,$	an(\frac{\pi}{4}) = K(e^1 - 1)^3$,इसलिए $1 = K(e - 1)^3$,जिससे $K = \frac{1}{(e - 1)^3}$ प्राप्त होता है। $K$ का मान रखने पर: $	an y = \frac{(e^x - 1)^3}{(e - 1)^3} = \left(\frac{e^x - 1}{e - 1}ight)^3$। चूंकि $(e^x - 1)^3 = -(1 - e^x)^3$ और $(e - 1)^3 = -(1 - e)^3$,हमें प्राप्त होता है $	an y = \left(\frac{1 - e^x}{1 - e}ight)^3$।

$y(1) = \frac{\pi}{4}$ के साथ $3 e^x \tan y \, dx + (1 - e^x) \sec^2 y \, dy = 0$ का विशिष्ट हल है

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