int cos sqrt{x} , dx = (जहाँ C समाकलन का एक स | vedclass

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Question

(A) समाकलन $I = \int \cos \sqrt{x} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $\sqrt{x} = t$ है। तब $x = t^2$,जि

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$2[\sqrt{x} \sin \sqrt{x} + \cos \sqrt{x}] + C$

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(A) समाकलन $I = \int \cos \sqrt{x} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $\sqrt{x} = t$ है। तब $x = t^2$,जिसका अर्थ है कि $dx = 2t \, dt$ है। इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int \cos(t) \cdot (2t \, dt) = 2 \int t \cos t \, dt$। अब,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं,जहाँ $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ है। मान लीजिए $u = t$ और $dv = \cos t \, dt$ है। तब $du = dt$ और $v = \sin t$ होगा। $I = 2 [t \sin t - \int \sin t \, dt]$। $I = 2 [t \sin t - (-\cos t)] + C$। $I = 2 [t \sin t + \cos t] + C$। $t = \sqrt{x}$ का मान वापस रखने पर: $I = 2[\sqrt{x} \sin \sqrt{x} + \cos \sqrt{x}] + C$।

$\int \cos \sqrt{x} \, dx =$ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

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