int x^{3} e^{x^{2}} dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int x^{3} e^{x^{2}} dx$ है। $x^{2} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$2x dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$। इन मान

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$\frac{1}{2} e^{x^{2}}(x^{2}-1)+c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int x^{3} e^{x^{2}} dx$ है। $x^{2} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$2x dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$। इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \frac{1}{2} \int t e^{t} dt$ प्राप्त होता है। खंडशः समाकलन (Integration by Parts) विधि $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = t$ और $dv = e^{t} dt$ है। अतः $du = dt$ और $v = e^{t}$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$I = \frac{1}{2} [t e^{t} - \int e^{t} dt] = \frac{1}{2} [t e^{t} - e^{t}] + c$। $e^{t}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$I = \frac{1}{2} e^{t}(t - 1) + c$ प्राप्त होता है। अंत में $t = x^{2}$ का मान वापस रखने पर,$I = \frac{1}{2} e^{x^{2}}(x^{2} - 1) + c$ प्राप्त होता है।

$\int x^{3} e^{x^{2}} dx =$

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$\int {x\sin x\ {{\sec }^3}\ x\,dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{x \tan^{-1} x}{(1 + x^2)^{3/2}} \, dx = $

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यदि $\int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x=f(x)-\log \left(1+x^2\right)$ है, तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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