int frac{x^2+1}{x(x^2-1)} dx | vedclass

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Question

(B) माना $ I = \int \frac{x^2+1}{x(x^2-1)} dx $. अंश और हर को $ x^2 $ से विभाजित करने पर: $ I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x(1 - \frac{1}{x^2})} dx

Vedclass · Accepted Answer

$ \log \left| \frac{x^2-1}{x} \right| + c $,जहाँ $ c $ समाकलन का एक स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(B) माना $ I = \int \frac{x^2+1}{x(x^2-1)} dx $. अंश और हर को $ x^2 $ से विभाजित करने पर: $ I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x(1 - \frac{1}{x^2})} dx $. माना $ t = x - \frac{1}{x} $. तब $ dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx $. आंशिक भिन्नों (Partial Fractions) का उपयोग करने पर: $ \frac{x^2+1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1} $. $ x^2+1 = A(x^2-1) + Bx(x+1) + Cx(x-1) $. $ x=0 $ रखने पर,$ 1 = -A \Rightarrow A = -1 $. $ x=1 $ रखने पर,$ 2 = 2B \Rightarrow B = 1 $. $ x=-1 $ रखने पर,$ 2 = 2C \Rightarrow C = 1 $. $ I = \int (-\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}) dx $. $ I = -\log |x| + \log |x-1| + \log |x+1| + c $. $ I = \log \left| \frac{(x-1)(x+1)}{x} \right| + c = \log \left| \frac{x^2-1}{x} \right| + c $.

$ \int \frac{x^2+1}{x(x^2-1)} dx $

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