int frac{x^{2}+1}{(x-3)(x-2)} d x = P x + Q l | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{x^{2}+1}{(x-3)(x-2)} d x$चूँकि अंश और हर की घात समान है,हम भाग देंगे:$\frac{x^{2}+1}{x^{2}-5x+6} = 1 + \frac{5x-5

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$1, 10, -5$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{x^{2}+1}{(x-3)(x-2)} d x$चूँकि अंश और हर की घात समान है,हम भाग देंगे:$\frac{x^{2}+1}{x^{2}-5x+6} = 1 + \frac{5x-5}{x^{2}-5x+6}$अतः,$I = \int (1 + \frac{5x-5}{(x-3)(x-2)}) d x = \int 1 d x + 5 \int \frac{x-1}{(x-3)(x-2)} d x$$\frac{x-1}{(x-3)(x-2)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x-2}$ के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:$x-1 = A(x-2) + B(x-3)$$x=3$ रखने पर: $3-1 = A(3-2) \Rightarrow A=2$$x=2$ रखने पर: $2-1 = B(2-3) \Rightarrow B=-1$इस प्रकार,$I = x + 5 \int (\frac{2}{x-3} - \frac{1}{x-2}) d x = x + 10 \log |x-3| - 5 \log |x-2| + c$$Px + Q \log |x-3| + R \log |x-2| + c$ से तुलना करने पर,हमें $P=1, Q=10, R=-5$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{x^{2}+1}{(x-3)(x-2)} d x = P x + Q \log |x-3| + R \log |x-2| + c$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है,तो $P, Q, R$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

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यदि $\int \frac{2 x^2}{\left(2 x^2+\alpha\right)\left(x^2+5\right)} d x=\frac{\sqrt{5}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{2}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}}+c$ है, तो $\alpha=$

$\int \frac{dx}{x(x^3+1)} = $

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