int e^x left( frac{1+sin x}{1+cos x} right) d | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ होता है।दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right) dx$ है।

Vedclass · Accepted Answer

$e^x 	an \frac{x}{2} + c$

Vedclass · Answer

(A) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ होता है।दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} ight) dx$ है।त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:$I = \int e^x \left( \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} ight) dx$$I = \int e^x \left( \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} ight) dx$$I = \int e^x \left( \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + 	an \frac{x}{2} ight) dx$मान लीजिए $f(x) = 	an \frac{x}{2}$ है। तब $f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$ होगा।चूंकि समाकलन $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx$ के रूप में है,इसलिए परिणाम $e^x f(x) + c$ होगा।अतः,$I = e^x 	an \frac{x}{2} + c$।

$\int e^x \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right) dx =$

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मान लीजिए $f(x) = \frac{2\sin^2 x - 1}{\cos x} + \frac{\cos x(2\sin x + 1)}{1 + \sin x}$ है,तो $\int e^x(f(x) + f'(x)) dx$ ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है)।

$\int \frac{\log x}{(1 + \log x)^2} dx = $

$\int \left( \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right)^2 dx = $

$\int {{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}} \left( {\frac{{1 + x + {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन $\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}\right) e^{2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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