$\lim _{x \rightarrow 2}(x-1)^{\frac{1}{3x-6}} = $

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2|\sin x|}-2|\sin x|-1}{x^2}$

एक भार एक स्प्रिंग से लटका हुआ है और उसे एक ज्यावक्रीय (sinusoidal) बल द्वारा कंपन कराया जाता है। समय $t$ पर इसका विस्थापन $s(t)$ समीकरण $s(t) = \frac{A}{c^2 - k^2} (\sin kt - \sin ct)$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $A, c,$ और $k$ धनात्मक स्थिरांक हैं और $c \neq k$ है। तब $c \to k$ होने पर विस्थापन का सीमांत मान क्या होगा?

मान लीजिए कि $\alpha$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है। मान लीजिए $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ और $g: (\alpha, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ फलन हैं जो $f(x) = \sin \left(\frac{\pi x}{12}\right)$ और $g(x) = \frac{2 \log_{e}(\sqrt{x}-\sqrt{\alpha})}{\log_{e}(e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}})}$ द्वारा परिभाषित हैं। तो $\lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} f(g(x))$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a b^x-a^x b}{x^2-1} = $

यदि $f(0) = 2$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\int\limits_0^x {\left( {tf(x) + xf(t)} \right)dt} }}{{{x^2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।