मान लीजिए कि alpha एक धनात्मक वास्तविक संख्या | vedclass

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Question

(C) हमें $\lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} g(x)$ का मान ज्ञात करना है।मान लीजिए $L = \lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} \frac{2 \ln(\sqrt{x}-\sqrt{\alpha}

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(C) हमें $\lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} g(x)$ का मान ज्ञात करना है।मान लीजिए $L = \lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} \frac{2 \ln(\sqrt{x}-\sqrt{\alpha})}{\ln(e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}})}$। यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है।लोपिटल नियम का उपयोग करते हुए:$L = 2 \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{\alpha}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}}} \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}$$L = 2 \lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} \frac{e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}}}{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-\sqrt{\alpha})}$$L = \frac{2}{e^{\sqrt{\alpha}}} \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} \frac{e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}}}{\sqrt{x}-\sqrt{\alpha}}$सीमा भाग के लिए फिर से लोपिटल नियम का उपयोग करते हुए:$L = \frac{2}{e^{\sqrt{\alpha}}} \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} \frac{e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \frac{2}{e^{\sqrt{\alpha}}} \cdot e^{\sqrt{\alpha}} = 2$.अब,$\lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} f(g(x)) = f(2) = \sin\left(\frac{2\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} = 0.50$.

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