एक यादृच्छिक चर $X$ मान $0, 1, 2, 3, \dots$ लेता है,जिसकी प्रायिकता $P(X=x) = k(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है। तो $P(X=0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण निम्नलिखित है:
| $X$ | $8$ | $12$ | $16$ | $20$ | $24$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(X)$ | $K$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{3}{8}$ | $2K$ | $\frac{1}{12}$ |
तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक असतत यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण नीचे दी गई तालिका द्वारा दिया गया है:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x)$	$2k$	$k$	$2k$	$4k$	$k$

यदि $a = P(X < 3)$ और $b = P(2 < X < 4)$ है,तो:

एक खेल में,$3$ सिक्के उछाले जाते हैं। यदि किसी व्यक्ति को सभी चित (heads) या सभी पट (tails) मिलते हैं,तो उसे ₹ $7$ का भुगतान किया जाता है; और यदि उसे एक चित या दो चित मिलते हैं,तो उसे ₹ $3$ का भुगतान करना पड़ता है। प्रति खेल उसके द्वारा औसतन जीतने की अपेक्षित राशि ₹ है

एक असतत यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण नीचे दिया गया है। यदि $E(X^2) = \Sigma x^2 P(X=x)$ है, तो $6 E(X^2) - \operatorname{Var}(X) =$

$X=x$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$P(X=x)$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$

एक खिलाड़ी $2$ निष्पक्ष सिक्के उछालता है। यदि $2$ चित (heads) आते हैं तो वह ₹ $5$ जीतता है,यदि एक चित आता है तो ₹ $2$ जीतता है और यदि कोई चित नहीं आता है तो ₹ $1$ जीतता है। तो उसकी जीती गई राशि का प्रसरण (variance) ₹ में क्या है?