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Question

(B) माना कि $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} a + b & b + c & c + a \ b + c & c + a & a + b \ c + a & a + b & b + c \end{array}} ight|$.$R_1

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$2$

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(B) माना कि $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} a + b & b + c & c + a \ b + c & c + a & a + b \ c + a & a + b & b + c \end{array}} ight|$.$R_1 	o R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 2(a+b+c) & 2(a+b+c) & 2(a+b+c) \ b + c & c + a & a + b \ c + a & a + b & b + c \end{array}} ight| = 2(a+b+c) \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ b + c & c + a & a + b \ c + a & a + b & b + c \end{array}} ight|$.$C_2 	o C_2 - C_1$ और $C_3 	o C_3 - C_1$ लागू करने पर:$\Delta = 2(a+b+c) \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \ b + c & a - b & a - c \ c + a & b - c & b - a \end{array}} ight| = 2(a+b+c) [-(a-b)^2 - (a-c)(b-c)] = -2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$.यह $-2(a^3+b^3+c^3-3abc)$ में सरल हो जाता है।अब,सारणिक $D = \left| {\begin{array}{ccc} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \end{array}} ight| = a(bc-a^2) - b(b^2-ac) + c(ab-c^2) = -(a^3+b^3+c^3-3abc)$.$\Delta = K \cdot D$ की तुलना करने पर,हमें $-2(a^3+b^3+c^3-3abc) = K \cdot -(a^3+b^3+c^3-3abc)$ प्राप्त होता है,इसलिए $K = 2$.

$\left| {\begin{array}{ccc} a + b & b + c & c + a \\ b + c & c + a & a + b \\ c + a & a + b & b + c \end{array}} \right| = K \left| {\begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array}} \right|$,तो $K = $

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सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}a^{2}+1 & a b & a c \\ a b & b^{2}+1 & b c \\ c a & c b & c^{2}+1\end{array}\right|=1+a^{2}+b^{2}+c^{2}$

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