int e^x left( frac{1 + sin x}{1 + cos x} righ | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$. दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx$ है। त्

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$e^x 	an \frac{x}{2}$

Vedclass · Answer

(B) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$. दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} ight) dx$ है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए: $1 + \sin x = 1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$. इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + 	an \frac{x}{2}$. मान लीजिए $f(x) = 	an \frac{x}{2}$,तो $f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$. अतः,समाकलन $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c = e^x 	an \frac{x}{2} + c$ हो जाता है।

$\int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx = $ . . . . . . $+ c$.

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समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int \frac{\log x}{(1+\log x)^2} dx$

$\int {{e^{2x}}\left( {\frac{{\sin 4x - 2}}{{1 - \cos 4x}}} \right)\;dx = } $

यदि $\int {\frac{{{e^x}(1 + \sin x)}}{{1 + \cos x}}} dx = {e^x}f(x) + c$ है,तो $f(x) = $

यदि $f(x)$ का प्रतिअवकलज (antiderivative) $e^x$ है और $g(x)$ का प्रतिअवकलज $\cos x$ है,तो $\int f(x) \cos x \, dx + \int g(x) e^x \, dx = $

$\int \frac{\log x}{(1 + \log x)^2} dx = $

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