int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{1}{a^{2} sin ^{2} | vedclass

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Question

(B) माना $ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x} d x $. अंश और हर को $ \cos^{2} x $ से विभाजित करने पर: $ I = \in

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$ \frac{\pi}{2ab} $

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(B) माना $ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x} d x $. अंश और हर को $ \cos^{2} x $ से विभाजित करने पर: $ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^{2} x}{a^{2} 	an^{2} x + b^{2}} d x $. माना $ 	an x = t $,तब $ \sec^{2} x d x = d t $. जब $ x = 0, t = 0 $ और जब $ x = \frac{\pi}{2}, t 	o \infty $. $ I = \int_{0}^{\infty} \frac{d t}{a^{2} t^{2} + b^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{d t}{t^{2} + (b/a)^{2}} $. सूत्र $ \int \frac{d x}{x^{2} + k^{2}} = \frac{1}{k} 	an^{-1}(\frac{x}{k}) $ का उपयोग करने पर: $ I = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{1}{(b/a)} \left[ 	an^{-1} \left( \frac{t}{b/a} ight) ight]_{0}^{\infty} $. $ I = \frac{1}{ab} \left( 	an^{-1}(\infty) - 	an^{-1}(0) ight) = \frac{1}{ab} \left( \frac{\pi}{2} - 0 ight) = \frac{\pi}{2ab} $.

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x} d x $ का मान ज्ञात कीजिए।

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