int_{-2}^0 (x^3+3x^2+3x+3+(x+1) cos(x+1)) , d | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{-2}^0 (x^3+3x^2+3x+3+(x+1) \cos(x+1)) \, dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int_{-2}^0 ((x+1)^3 + 2 + (x+1) \cos(x+1

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$4$

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(B) माना $I = \int_{-2}^0 (x^3+3x^2+3x+3+(x+1) \cos(x+1)) \, dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int_{-2}^0 ((x+1)^3 + 2 + (x+1) \cos(x+1)) \, dx$. $t = x+1$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = dx$ प्राप्त होता है। जब $x = -2$,तब $t = -1$ और जब $x = 0$,तब $t = 1$। अतः,$I = \int_{-1}^1 (t^3 + 2 + t \cos t) \, dt$. समाकलन को अलग करने पर: $I = \int_{-1}^1 t^3 \, dt + \int_{-1}^1 2 \, dt + \int_{-1}^1 t \cos t \, dt$. चूँकि $f(t) = t^3$ और $g(t) = t \cos t$ विषम फलन हैं,इसलिए $[-1, 1]$ अंतराल पर इनका समाकलन $0$ होता है। अतः,$I = 0 + [2t]_{-1}^1 + 0 = 2(1 - (-1)) = 2(2) = 4$.

$\int_{-2}^0 (x^3+3x^2+3x+3+(x+1) \cos(x+1)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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