x 0 के लिए,मान लीजिए f(x) = int_{1}^{x} fra | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt$.$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{1/x} \frac{\ln t}{1+t} dt$ पर विचार करें।मान लीजिए $

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}(\log x)^2$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt$.$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{1/x} \frac{\ln t}{1+t} dt$ पर विचार करें।मान लीजिए $t = \frac{1}{u}$,तो $dt = -\frac{1}{u^2} du$. जब $t=1, u=1$ और जब $t=1/x, u=x$ है।$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln(1/u)}{1 + 1/u} \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\ln u}{\frac{u+1}{u}} \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u(u+1)} du$.अब,$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt + \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{t(1+t)} dt = \int_{1}^{x} \ln t \left( \frac{1}{1+t} + \frac{1}{t(1+t)} \right) dt$.समाकल्य (integrand) को सरल करने पर: $\frac{1}{1+t} + \frac{1}{t(1+t)} = \frac{t+1}{t(1+t)} = \frac{1}{t}$.अतः,$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{t} dt$.मान लीजिए $\ln t = v$,तो $\frac{1}{t} dt = dv$. जब $t=1, v=0$ और जब $t=x, v=\ln x$ है।$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{0}^{\ln x} v dv = \left[ \frac{v^2}{2} \right]_{0}^{\ln x} = \frac{1}{2}(\ln x)^2$.

$x > 0$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log t}{1+t} dt$. तो $f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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