x 0 માટે,ધારો કે f(x) = int_{1}^{x} frac{lo | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt$.$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{1/x} \frac{\ln t}{1+t} dt$ ધ્યાનમાં લો.ધારો કે $t = \

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}(\log x)^2$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt$.$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{1/x} \frac{\ln t}{1+t} dt$ ધ્યાનમાં લો.ધારો કે $t = \frac{1}{u}$,તેથી $dt = -\frac{1}{u^2} du$. જ્યારે $t=1, u=1$ અને જ્યારે $t=1/x, u=x$.$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln(1/u)}{1 + 1/u} \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\ln u}{\frac{u+1}{u}} \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u(u+1)} du$.હવે,$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt + \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{t(1+t)} dt = \int_{1}^{x} \ln t \left( \frac{1}{1+t} + \frac{1}{t(1+t)} \right) dt$.ઇન્ટિગ્રન્ડનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{1+t} + \frac{1}{t(1+t)} = \frac{t+1}{t(1+t)} = \frac{1}{t}$.તેથી,$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{t} dt$.ધારો કે $\ln t = v$,તેથી $\frac{1}{t} dt = dv$. જ્યારે $t=1, v=0$ અને જ્યારે $t=x, v=\ln x$.$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{0}^{\ln x} v dv = \left[ \frac{v^2}{2} \right]_{0}^{\ln x} = \frac{1}{2}(\ln x)^2$.

$x > 0$ માટે,ધારો કે $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log t}{1+t} dt$. તો $f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

$\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{3 \cos x+\sin x} d x=$

$\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3 x \cos x \, dx}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} = ?$

$\int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \operatorname{cosec}^{101}\left(x-\frac{1}{x}\right) d x=$

જો $2 \int_0^1 \tan^{-1} x \, dx = \int_0^1 \cot^{-1} (1 - x + x^2) \, dx$ હોય,તો $\int_0^1 \tan^{-1} (1 - x + x^2) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{-4 \pi}^{4 \pi} \tan ^9 x \sin ^6 x \cos ^3 x \, dx$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module