1^2+left(1^2+2^2right)+left(1^2+2^2+3^2right) | vedclass

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Question

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \sum_{j=1}^n j^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।हमें योग $S_n = \sum_{i=1}^n T_i = \sum_{i=1}^n \frac{i(i+1)(2i+1)}{6}$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$

Vedclass · Answer

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \sum_{j=1}^n j^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।हमें योग $S_n = \sum_{i=1}^n T_i = \sum_{i=1}^n \frac{i(i+1)(2i+1)}{6}$ ज्ञात करना है।व्यंजक का विस्तार करने पर: $S_n = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^n (2i^3 + 3i^2 + i) = \frac{1}{3} \sum i^3 + \frac{1}{2} \sum i^2 + \frac{1}{6} \sum i$.मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:$S_n = \frac{1}{3} \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 + \frac{1}{2} \left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right] + \frac{1}{6} \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]$.$\frac{n(n+1)}{12}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:$S_n = \frac{n(n+1)}{12} \left[ n(n+1) + (2n+1) + 1 \right] = \frac{n(n+1)}{12} [n^2 + n + 2n + 2] = \frac{n(n+1)(n^2+3n+2)}{12}$.चूंकि $n^2+3n+2 = (n+1)(n+2)$,इसलिए $S_n = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$ प्राप्त होता है।

$1^2+\left(1^2+2^2\right)+\left(1^2+2^2+3^2\right)+\ldots+\left(1^2+2^2+\ldots+n^2\right)=$

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