$P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું એક ચલ બિંદુ છે,જેના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ છે. જો $A$ એ ત્રિકોણ $P F_1 F_2$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $A$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?

એક ઉપવલયમાં,એક નાભિથી તેના અનુરૂપ મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુ સુધીનું અંતર $4-\sqrt{7}$ છે અને તે જ નાભિથી ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુ સુધીનું અંતર $4$ છે. તો તેના ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુએ તેની નાભિઓને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા બનતા ખૂણાનો કોસાઇન (cosine) શોધો.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબના એક અંત્યબિંદુ આગળનો અભિલંબ ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુમાંથી પસાર થતો હોય,તો:

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $(1, 0)$ તથા $(3, 0)$ આગળ નાભિઓ ધરાવતા ઉપવલયનું સમીકરણ ..... છે.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ ની જીવાનું મધ્યબિંદુ $(\sqrt{2}, 4/3)$ હોય,અને જીવાની લંબાઈ $\frac{2 \sqrt{\alpha}}{3}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો :

ધારો કે $E$ એક ઉપવલય છે જેના અક્ષો યામ અક્ષોને સમાંતર છે,તેનું કેન્દ્ર $(3, -4)$ પર છે,એક નાભિ $(4, -4)$ પર છે અને એક શિરોબિંદુ $(5, -4)$ પર છે. જો $mx - y = 4$ જ્યાં $m > 0$ એ ઉપવલય $E$ નો સ્પર્શક હોય,તો $5m^{2}$ ની કિંમત ..... છે.