$\lim _{x \rightarrow 1} \left( \frac{x+x^2+x^3+\ldots+x^n-n}{x-1} \right) = $

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin([x])}{[x]}, & \text{जब } [x] \neq 0 \\ 0, & \text{जब } [x] = 0 \end{cases}$ जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,तो $\lim_{x \to 0} f(x) = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + x)}^5} - 1}}{{{{(1 + x)}^3} - 1}} = $

अभिकथन $(A)$: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = \infty$
तर्क $(R)$: जैसे-जैसे $x$ का मान घटता है,$\frac{1}{x}$ का मान बढ़ता है।

यदि $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{a}{x} - \frac{4}{{{x^2}}}} \right)^{2x}} = {e^3},$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

दी गई सीमा का मूल्यांकन करें: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{4x+3}{x-2}$