lim _{n rightarrow infty} frac{1}{n} [(n+1)(n | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $P = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} [(n+1)(n+2) \cdots (2n)]^{\frac{1}{n}}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:$\log P = \lim _{n \

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4}{e}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $P = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} [(n+1)(n+2) \cdots (2n)]^{\frac{1}{n}}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:$\log P = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \log \left( \frac{n+r}{n} \right) = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \log \left( 1 + \frac{r}{n} \right)$.આ એક રીમેન સરવાળો છે,જેને નિશ્ચિત સંકલન તરીકે દર્શાવી શકાય છે:$\int_{0}^{1} \log(1+x) dx$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \log(1+x) dx = (1+x)\log(1+x) - (1+x) + C$.$0$ થી $1$ સુધી મૂલ્ય શોધતા:$[(1+x)\log(1+x) - (1+x)]_{0}^{1} = (2\log 2 - 2) - (0 - 1) = 2\log 2 - 1 = \log 4 - \log e = \log \left( \frac{4}{e} \right)$.તેથી $\log P = \log \left( \frac{4}{e} \right)$,તેથી $P = \frac{4}{e}$.આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} [(n+1)(n+2) \cdots (2n)]^{\frac{1}{n}} = $

Similar Questions

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}}\left[2^k+4^k+6^k+\ldots+(2 n)^k\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^3}{r^4+n^4}$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (k^2 x)$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}=$

સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નીચેના નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{a}^{b} x \, dx$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module