$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^3}{r^4+n^4}$ ની કિંમત શોધો.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^{1/3}}}}{{{n^{4/3}}}} + \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^{1/3}}}}{{{n^{4/3}}}} + \dots + \frac{{{{\left( {2n} \right)}^{1/3}}}}{{{n^{4/3}}}}} \right)$ ની કિંમત શોધો.

$\mathop {Lim}\limits_{n \to \infty } \frac{\pi }{{6n}}\left[ {{{\sec }^2}\left( {\frac{\pi }{{6n}}} \right) + {{\sec }^2}\left( {2 \cdot \frac{\pi }{{6n}}} \right) + \dots + {{\sec }^2}\left( {(n - 1)\frac{\pi }{{6n}}} \right) + \frac{4}{3}} \right]$ ની કિંમત કેટલી થાય?

સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નીચેના નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો:
$\int_{2}^{3} x^{2} d x$

$\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n}\sin \left( \frac{1}{n} \right)\left( \cos \left( \frac{1}{n} \right) \right)^2 + \frac{1}{n}\sin \left( \frac{2}{n} \right)\left( \cos \left( \frac{2}{n} \right) \right)^2 + \dots + \frac{1}{n}(\sin 1)(\cos 1)^2 \right]$ નું મૂલ્ય શું છે?

દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,ધારો કે $y_n = \frac{1}{n} ((n+1)(n+2) \dots (n+n))^{\frac{1}{n}}$. $x \in \mathbb{R}$ માટે,ધારો કે $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક છે. જો $\lim_{n \rightarrow \infty} y_n = L$ હોય,તો $[L]$ ની કિંમત શોધો.