lim _{n rightarrow infty} sum_{r=1}^n frac{r^ | vedclass

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Question

(C) योगफल की सीमा के सूत्र का उपयोग करके हम योग को एक निश्चित समाकल के रूप में व्यक्त करते हैं: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^3}{

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$\frac{1}{4} \log _{e} 2$

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(C) योगफल की सीमा के सूत्र का उपयोग करके हम योग को एक निश्चित समाकल के रूप में व्यक्त करते हैं: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^3}{r^4+n^4} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n^3(r/n)^3}{n^4((r/n)^4+1)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{(r/n)^3}{(r/n)^4+1}$.मान लीजिए $x = r/n$, तो जैसे $n \rightarrow \infty$, योग समाकल $\int_0^1 \frac{x^3}{x^4+1} dx$ बन जाता है।इसे हल करने के लिए, मान लीजिए $u = x^4+1$, तो $du = 4x^3 dx$, या $x^3 dx = \frac{1}{4} du$.समाकल $\frac{1}{4} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{4} [\log_e u]_1^2$ हो जाता है।$= \frac{1}{4} (\log_e 2 - \log_e 1) = \frac{1}{4} \log_e 2$.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^3}{r^4+n^4}$ का मान है

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यदि $f(n) = \frac{1}{n} [(n+1)(n+2)(n+3) \ldots (2n)]^{\frac{1}{n}}$ है, तो $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n) =$

योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{2} e^{x} d x$ का मूल्यांकन कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{n^2}{(n+1)^3}+\frac{n^2}{(n+2)^3}+\frac{n^2}{(n+3)^3}+\ldots+\frac{n^2}{(n+4n)^3}\right]=$

$\mathop {\text{Lim}}\limits_{n \to \infty } \,\,\sum\limits_{r = 1}^{4n} {\frac{{\sqrt n }}{{\sqrt r {{\left( {\,3\sqrt r + 4\sqrt n \,} \right)}^2}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{1}^{99}}+{{2}^{99}}+{{3}^{99}}+......{{n}^{99}}}{{{n}^{100}}}=$

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