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Question

(C) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \ 4 & 4 & -3 & 1 \ b & 2 & 2 & 2 \ 9 & 9 & b & 3 \end{bmatrix}$ है।आव्यूह की कोटि $3$ होने

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-$6$

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(C) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \ 4 & 4 & -3 & 1 \ b & 2 & 2 & 2 \ 9 & 9 & b & 3 \end{bmatrix}$ है।आव्यूह की कोटि $3$ होने के लिए,आव्यूह का सारणिक $0$ होना चाहिए और $3$ क्रम का कम से कम एक अशून्य माइनर मौजूद होना चाहिए।आव्यूह को सरल बनाने के लिए पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने पर:$R_2 ightarrow R_2 - 4R_1$ और $R_4 ightarrow R_4 - 9R_1$:$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ b & 2 & 2 & 2 \ 0 & 0 & b+9 & 3 \end{bmatrix}$.$R_4 ightarrow R_4 - 3R_2$ लागू करने पर:$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ b & 2 & 2 & 2 \ 0 & 0 & b+6 & 0 \end{bmatrix}$.कोटि $3$ होने के लिए,चौथी पंक्ति को अन्य पंक्तियों का रैखिक संयोजन होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि अंतिम पंक्ति को शून्य हो जाना चाहिए।अतः,$b+6 = 0$ लेने पर,$b = -6$ प्राप्त होता है।

$b$ का वह मान जिसके लिए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 4 & 4 & -3 & 1 \\ b & 2 & 2 & 2 \\ 9 & 9 & b & 3 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) $3$ है,है

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यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & -6 \end{bmatrix}$ और $A$ की कोटि (rank) $2$ है,तो $x$ का मान किसके बराबर है?

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मान लीजिए $f(x) = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos 2x & \sin 2x & 2\cos 2x \\ \cos 3x & \sin 3x & 3\cos 3x \end{vmatrix}$. तब $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = $

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