[0,4] में f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) के लिए लैग्रें | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(0, 4)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद ह

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$2+\frac{2}{\sqrt{3}}$

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(A) दिया गया है $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(0, 4)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$ हो।सबसे पहले,$f(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = 3 	imes 2 	imes 1 = 6$ ज्ञात करें।फिर,$f(0) = (0-1)(0-2)(0-3) = -1 	imes -2 	imes -3 = -6$ ज्ञात करें।अतः,$f'(c) = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$ होगा।अब,$f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$ ज्ञात करें।$f'(c) = 3c^2 - 12c + 11 = 3$ रखने पर,$3c^2 - 12c + 8 = 0$ प्राप्त होता है।द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।अतः,$c$ का मान $2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ है,जो विकल्प $A$ से मेल खाता है।

$[0,4]$ में $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार $c$ का मान है

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माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में,$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$। यदि $a = 0$,$b = \frac{1}{2}$ और $f(x) = x(x - 1)(x - 2)$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$,$[1, 3]$ अंतराल में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है। $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक दो बार सतत अवकलनीय फलन है। मान लीजिए $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ है। तो,

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