text{यदि } int frac{3x+2}{4x^2+4x+5} dx = A l | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{3x+2}{4x^2+4x+5} dx$. अंश को हर के अवकलज के रूप में व्यक्त करने पर: $3x+2 = \frac{3}{8}(8x+4) + \frac{1}{2}$. इस मान को समाकल

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$(\frac{3}{8}, \frac{1}{8})$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{3x+2}{4x^2+4x+5} dx$. अंश को हर के अवकलज के रूप में व्यक्त करने पर: $3x+2 = \frac{3}{8}(8x+4) + \frac{1}{2}$. इस मान को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{\frac{3}{8}(8x+4) + \frac{1}{2}}{4x^2+4x+5} dx = \frac{3}{8} \int \frac{8x+4}{4x^2+4x+5} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(2x+1)^2 + 2^2} dx$. प्रथम भाग के लिए,$u = 4x^2+4x+5$ लेने पर,$du = (8x+4)dx$ प्राप्त होता है। $I = \frac{3}{8} \log(4x^2+4x+5) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(2x+1)^2 + 2^2} dx$. सूत्र $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{3}{8} \log(4x^2+4x+5) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} 	an^{-1}(\frac{2x+1}{2}) + C$. $I = \frac{3}{8} \log(4x^2+4x+5) + \frac{1}{8} 	an^{-1}(x+\frac{1}{2}) + C$. दिए गए रूप से तुलना करने पर,$A = \frac{3}{8}$ और $B = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।

$\text{यदि } \int \frac{3x+2}{4x^2+4x+5} dx = A \log(4x^2+4x+5) + B \tan^{-1}\left(x+\frac{1}{2}\right) + C, \text{ तो } (A, B) = $

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