int e^{4 x^2+8 x-4}(x+1) cos left(3 x^2+6 x-4 | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int e^{4 x^2+8 x-4}(x+1) \cos \left(3 x^2+6 x-4\right) d x$. $t = x^2 + 2x$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = (2x + 2) dx = 2(x+1) dx$,जिसका अर

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$\frac{e^{4 x^2+8 x-4}}{50}\left[4 \cos \left(3 x^2+6 x-4\right)+3 \sin \left(3 x^2+6 x-4\right)\right]+c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int e^{4 x^2+8 x-4}(x+1) \cos \left(3 x^2+6 x-4\right) d x$. $t = x^2 + 2x$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = (2x + 2) dx = 2(x+1) dx$,जिसका अर्थ है $(x+1) dx = \frac{dt}{2}$. समाकलन $I = \frac{1}{2} \int e^{4t-4} \cos(3t-4) dt$ हो जाता है। मानक सूत्र $\int e^{ax+k} \cos(bt+m) dt = \frac{e^{ax+k}}{a^2+b^2} [a \cos(bt+m) + b \sin(bt+m)] + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=4$ और $b=3$: $I = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{4t-4}}{4^2+3^2} [4 \cos(3t-4) + 3 \sin(3t-4)] + C$. $I = \frac{e^{4t-4}}{2 \cdot 25} [4 \cos(3t-4) + 3 \sin(3t-4)] + C$. $t = x^2 + 2x$ वापस रखने पर,$4t-4 = 4x^2+8x-4$ और $3t-4 = 3x^2+6x-4$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \frac{e^{4x^2+8x-4}}{50} [4 \cos(3x^2+6x-4) + 3 \sin(3x^2+6x-4)] + C$.

$\int e^{4 x^2+8 x-4}(x+1) \cos \left(3 x^2+6 x-4\right) d x=$

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$\frac{\int_0^{\pi / 2}(\sin x)^{\sqrt{2}+1} d x}{\int_0^{\pi / 2}(\sin x)^{\sqrt{2}-1} d x}$ का मान $........$ है।

यदि $\int \frac{(x^2-1)}{(x+1)^2 \sqrt{x(x^2+x+1)}} dx = A \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}\right) + C$, जहाँ $C$ एक स्थिरांक है, तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{\sin x+8 \cos x}{4 \sin x+6 \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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